BAB VII

BAB 7.
 PENGUJIAN HIPOTESIS

Pengertian Hipotesis

 

           Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan  hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. (dalam penelitian hipotesis dapat diartikan jawaban sementara terhadap rumusan masalah penelitian). Jika asumsi itu atau dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut  hipotesis statistik. kecuali dinyatakan lain, di sini dengan hipotesis dimaksudkan hipotesis statistik. Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis

            Dalam dunia  akademik, suatu  masalah  terlebih  dahulu  dijawab  secara  teoritik. Berdasarkan konsep teoritik tersebut maka dapat diajukan suatu hipotesis. Dengan hipotesis tersebut  suatu  masalah sudah dapat dijawab, tetapi  jawaban  masih  bersifat  teoritik  dan bersifat  sementara. Oleh  sebab itu, diperlukan data lapangan untuk memastikan kebenaran hipotesis  yang  diajukan.  Kebenaran  hipotesis  tergantung  pada  analisis  data    lapangan. Hipotesis yang diajukan dapat diterima kebenarannya jika  analisis   data    lapangan   sesuai dengan teori. Sebaliknya jika analisis data lapangan bertolak belakang (berbeda)  dengan teori,maka hipotesis yang diajukan dapat ditolak.

            Hipotesis dapat bersifat Kuantitatif dan dapat bersifat Kualitatif. Secara statistik, hipotesis yang bersifat kualitatif tidak dapat diuji, sedangkan yang dapat diuji adalah hipotesis yang bersifat kuantitatif. Hipotesis yang demikian, disebut Hipotesis Statistik (Statistical Hypothesis) karena selain harus disajikan dalam bentuk angka, hipotesis statistik juga merupakan pernyataan tentang bentuk fungsi yang menggambarkan hubungan antar variabel yang diteliti.

Secara statistika terdapat dua macam hipotesis, yaitu :

•   Hipotesis Nol (Null Hypothesis) yang diberi symbol dengan Ho, dan

•   Hipotesis Alternatif (Alternative Hypothesis) yang diberi symbol dengan Ha.

            Ho menyatakan tidak ada perbedaan antara statistik sampel dengan parameter populasi atau tidak ada hubungan antara dua variabel atau lebih. Ha menyatakan terdapat perbedaan antara statistik sampel dengan parameter populasi atau terdapat hubungan antara dua variabel atau lebih.Dalam merumuskan suatu hipotesis, agar hipotesis yang diajukan dapat diuji atau dianalisis maka yang perlu mendapatkan perhatian adalah bahwa hipotesis hendaknya :

a)Menyatakan hubungan antara dua variabel atau lebih;

b)Dinyatakan dalam kalimat pernyataan;

c)Dirumuskan secara jelas dan padat (sistematik); dan

d)Dapat diuji kebenarannya berdasarkan data lapangan.

Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama:

a)      Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,

b)      Kekeliruan tipe II : ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Untuk meningkatkan hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan, dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.

DAFTAR VI (1)

TIPE KEKELIRUAN KETIKA MEMBUAT KESIMPULAN

TENTANG HIPOTESIS

KESIMPULAN	KEADAAN SEBENARNYA
	HIPOTESIS BENAR	HIPOTESIS SALAH
Terima Hipotesis	BENAR	KELIRU (Kekeliruan Tipe II)
Tolak Hipotesis	KELIRU (Kekeliruan Tipe I)	BENAR

              Ketika merencanakan suatu penelitian dalam rangka pengujian hipotesis, jelas kiranya bahwa kedua tipe kekeliruan itu harus dibuat sekecil mungkin. Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu kita nyatakan dalam peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan a (baca : alfa) dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan b (baca : beta). Berdasarkan ini, kekeliruan tipe I dinamakan pula kekeliruan a dan kekeliruan tipe II dikenal dengan kekeliruan b.

              Dalam penggunaanya, a disebut pula taraf signifikan atau taraf arti atau sering disebut pula taraf nyata. Besar kecilnya a dan b yang dapat diterima dalam pengambilan kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya kekeliruan-kekeliruan itu. Selain daripada itu perlu pula dikemukakan bahwa kedua kekeliruan itu saling berkaitan. Jika a diperkecil, maka b menjadi besar dan sebaliknya. Pada dasarnya, harus dicapai hasil pengujian hipotesis yang baik, ialah pengujian yang bersifat bahwa di antara semua pengujian yang dapat dilakukan dengan harga a yang sama besar, ambillah sebuah yang mempunyai kekeliruan b paling kecil.

        Prinsip demikian memerlukan pemecahan matematik yang sudah keluar dari tujuan buku ini. Karenanya, untuk keperluan praktis, kecuali dinyatakan lain, a akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa digunakan, yaitu a = 0,01 atau a = 0,05. Dengan a = 0,05 misalnya, atau sering pula disebut taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05.

             

Cara Pengujian Hipotesis

1.   Menentukan Formulasi Hipotesis

Formulasi atau perumusan hipotesis statistik dapat dibedakan atas dua jenis, yaitu sebagai berikut : 

a.  Hipotesis nol atau hipotesis nihil 

     Hipotesis nol, disimbolkan H0 adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang akan diuji. 

b. Hipotesis alternatif atau hipotesis tandingan

    Hipótesis alternatif disimbolkan H1 atau Ha adalah hipotesis yang

    dirumuskan sebagai lawan atau tandingan dari hipotesis nol.

    Secara umum, formulasi hipotesis dapat dituliskan :

H0 : q = q0

H1 : q > q0

    Pengujian ini disebut pengujian sisi kanan

H0 : q = q0

H1 : q < q0

    Pengujian ini disebut pengujian sisi kiri

H0 : q = q0

H1 : q ¹ q0

    Pengujian ini disebut pengujian dua sisi

2.      Menentukan Taraf Nyata (Significant Level)

Taraf nyata adalah besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya. Taraf nyata dilambangkan dengan a (alpha). Semakin tinggi taraf nyata yang digunakan, semakin tinggi pula penolakan hipotesis nol atau hipotesis yang diuji, padahal hipotesis nol benar. Besarnya nilai a bergantung pada keberanian pembuat keputusan yang dalam hal ini berapa besarnya kesalahan yang akan ditolerir. Besarnya kesalahan tersebut disebut sebagai daerah kritis pengujian (critical region oftest) atau daerah penolakan (region of rejection).

3.   Menentukan Kriteria Pengujian

Kriteria pengujian adalah bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol (H0) dengan cara membandingkan nilai a table distribusinya (nilai kritis) dengan nilai uji statistiknya, sesuai dengan bentuk pengujiannya.

a.  Penerimaan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih kecil atau lebih

besar daripada nilai positif atau negatif dari a tabel. Atau nilai uji

statistik berada di luar nilai kritis.

b.  Penolakan H0 terjadi jika nilai uji statistiknya lebih besar atau lebih

kecil daripada nilai positif atau negatif dari a tabel. Atau nilai uji

statistik berada di dalam nilai kritis.

4.    Menentukan Nilai Uji Statistik

Uji statistik merupakan rumus-rumus yang berhubungan dengan distribusi tertentu dalam pengujian hipotesis. Uji statistik merupakan perhitungan untuk menduga parameter data sampel yang diambil secara random dari sebuah populasi.

5.    Membuat Kesimpulan

Pembuatan kesimpulan merupakan penetapan keputusan dalam hal penerimaan atau penolakan hipotesis nol (H0), sesuai dengan kriteria pengujiannya. Pembuatan kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji statistik dengan nilai a tabel atau nilai kritis.

a.       Penerimaan H0 terjadi jika nilai uji statistik berada diluar nilai kritisnya

b.      Penolakan H0 terjadi jika nilai uji statitik berada di dalam nilai kritisnya

Dalam penelitian, hipotesis dapat diartikan sebagai jawaban sementara terhadap rumusan masalah dalam penelitian. Jika dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, maka umumnya mengenai nilai-nilai parameterlah yang digunakan untuk menduganya atau disebut  hipotesis statistic.

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis.

Cara penentuan wilayah kritis

1. uji dua arah

Jika H₁ ≠ parameter, maka dalam distribusi yang digunakan, normal untuk angka z, Student untuk t, F, Chi-Square dan lainnya, diperoleh dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah ½a. Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis dinamakan uji dua arah.

Ho : µ = µo

H1 : µ ≠ µo

Ilustrasi penolakan uji dua arah

2. uji satu arah (Kanan)

Untuk H₁ > parameter, maka dalam distribusi yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan a. Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

Ho : µ = µo

H1 : µ > µo

Ilustrasi uji satu arah (Kanan)

3. Uji satu arah (Kiri)

Jika H₁ < parameter, maka daerah kritis ada di ujung kiri dari distribusi yang digunakan. Luas = a yang menjadi batas daerah terima H_o oleh bilangan d yang didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan. Peluang untuk mendapatkan d ditentukan oleh taraf nyata a. Uji ini dinamakan uji satu pihak, ialah pihak kiri.

Ho : µ = µo           
H1 : µ < µo
 

Ilustrasi uji satu arah (Kiri) 

CONTOH :

Pernyataan yang hendak diuji adalah : “berat isi semen 40 kg”. dalam pernyataan yang terkandung pengertian kesamaan, yakni “target berat = 40kg”. jadi, pernyataan itu merupakan hipotesis H0. alternative H1 berupa sanggahannya oleh karena itu,

a.  Rumusan H0 dan H1 adalah sebagai berikut :

    H0 : Target berat = 40 kg

    H1 : Target berat ≠ 40 kg

b. Rumusan H0 dan H1 secara statistic

“Target berat” secara statistic berarti “tyaraf populasi berat isi semen µ”. Jadi, terjemahan statistic untuk H0 dan H1 adalah H0 : µ = 40 dan H1 : µ ≠ 40

Kegunaan Hipotesis

Kegunaan hipotesis antara lain :

1.     Hipotesis memberikan penjelasan sementara tentang gejala-gejala serta memudahkan perluasan pengetahuan dalam suatu bidang

2.     Hipotesis memberikan suatu pernyataan hubungan yang langsung dapat diuji dalam penelitian

3.     Hipotesis memberikan arah kepada penelitian

4.     Hipotesis memberikan kerangka untuk melaporkan lesimpulan penyelidikan

Ciri-ciri Hipotesis

Cirri-ciri hipotesis yang baik :

1.     Hipotesis harus mempunyai daya penjelas

2.     Hipotesis harus menyatakan hubungan yang diharapkan ada diaantara variable-variabel

3.     Hipotesis harus dapat diuji

4.     Hipotesis hendaknya konsistensi dengan pengetahuan yang sudah ada

5.     Hipotesis hendaknya dinyatakan sederhana dan seringkas mungkin

Menggali dan Merumuskan Hipotesis

Dalam menggali hipotesis, peneliti harus :

1.     Mempunyai banyak informasi tentang masalah yang ingin dipecahkan dengan jalan banyak membaca literature-literatur yang ada hubungannya dengan penelitian yang sedang dilaksanakan.

2.     Mempunyai kemampuan untuk memeriksa keterangan tentang tempat-tempat, objek-objek serta hal-hal yang berhubungan satu sama lain dalam fenomena yang sedang diselidiki

3.     Mempunyai kemampuan untuk menghubungkan suatu keadaan dengan keadaan lainnya yang sesuai dengan kerangka teori ilmu dan bidang yang bersangkutan.

Sebagai kesimpulan, maka beberapa petunjuk dalam merumuskan hipotesis dapat diberikan sebagai berikut :

1.     Hipotesis harus dirumuskan secara jelas dan padat serta spesifik

2.     Hipotesis sebaiknya dinyatakan dalam kalimat deklaratif dan berbentuk pernyataan

3.     Hipotesis sebaiknya menyatakan hubungan antara dua atau lebih variable yang dapat diukur

4.     Hendaknya dapat diuji

5.     Hipotesis sebaiknya mempunyai kerangka teori

SUMBER :

http://cerdaskan.com/langkah-langkah-pengujian-hipotesis.html

http://detapujik.blogspot.com/2012/04/uji-hipotesis-satu-rata-rata.html

http://webmail.informatika.org/~rinaldi/Probstat/2010-2011/Pengujian%20Hipotesis.pdf
http://materi-paksyaf.blogspot.com/2012/11/uji-hipotesis.html
http://mtk10ayufarida.blogspot.com/2012/05/uji-hipotesis.html

BAB 6 STATISTIKA

DISTRIBUSI PELUANG

A.     Distribusi Binomial

Diperhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan bukan A (ditulisi ), dimana P (A) = = peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan percobaan sebanyak N kali secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisannya (N-X) peristiwa.

Jika+P(A) untuk tiap percobaan, 1- =P(A)

maka peluang terjadinya peristiwa a sebanyak X =x kali diantara N, dihitung oleh:

 P(x) = P(X=x) = ( ^x (1-∏) ^n-x

Dengan N! + 1x2x3x….. x(N-1)xN dan 0! = 1 (N! dibaca N faktorial) rumus tersebut merupakan koefisienbinomial

Rumus :     = N 

      σ = 

dimana parameter ditinjau dari peristiwa A.

contoh :

1.      Peluang untuk mendapatkan 6 muka A, ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang logam homogin sebanyak 10 kali adalah

P (x=7) =  (1/2)⁴

                               = 0,2050

2.      Pada pelemparan sebuah mata uang logam yang homogen sebanyak 5 kali, ditentukan X = banyaknya G (gambar) yang muncul. Carilah P (X≤2)

Jawab :   =1/2, X = 5

P(X≤2)      = P(X=0) = P(X=1) + P(X=2)

P9X=0)     = (1/2) ⁰(1/2)⁵     = 0,0312

P(X=1)      = (1/2) ¹(1/2)⁴

= 0,1562

P(X=2)      =  (1/2) ² (1/2)⁵

                                    = 0,3125

P(X≤2)      = 0,312 + 0,1562 + 0,3125 = 0,4993

B.     Distribusi Poisson

Pada dasarnya distribusi poisson merupakan perluasan dari distribusi binomial, dengan N cukup besar dan π cukup kecil

Rumus : P(X) = P (X=x) =

Dimana :    

x          = 0, 2, ………. = banyaknya sukses

e.         = 2,7183

λ          = bilangan tetap = n π

n          = banyaknya ulangan yang dilakukan

distribusi poisson mempunyai parameter :

μ = λ   

σ = 

contoh :

Jika peluang pengunjung yang pingsan saat melihat parade akibat terik matahari adalah 0,005 maka hitunglah peluang bahwa dari 3000 pengunjung parade tersebut, trdapat 18 orang yang pingsan akibat terik matahari.

Jawab : 

π = 0,005  n = 3000

λ = n π = 3000 (0,005) = 15

x = 18

P(X) = P (X=x)

C.     Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi dengan variabel acak kentinu dan merupakan distribusi yang sangat dominan. Distribusi normal sering disebut sebagai distribusi Gauss.

Jika variabel acak kontinu mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan : F(x) = 

Dimana : 

π = 3,1416

e = 2,7183

μ = parameter merupakan rata-rata untuk distribusi

σ= parameter merupakan simpangan baku untuk distribusi

nilai x : - , maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.

Apabila  = 1 dan = 0, maka diperoleh distribusi standar.

Fungsi identitasnya :

F(z) = 

Untuk Z ; -  < Z < 

Mengubah distribusi normal umum, menjadi distribusi normal standar dapat ditempuh dengan menggunakan transforamsi:

Z = ;

Dimana μ = rata-rata dan σ = deviasi standar

Untuk m = 0 dan s = 1

Kurva normal mempunyai sifat-sifat antara lain:

1.      bentuknya simetrik terhadap sumbu x = m

2.      grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

3.      grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = m - 3skekanan sampai m + 3

4.      mempunyai satu modus, jadi kurga unimodal, tercapai pada x = m sebesar 

5.      luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi hubungan sifat yang kelima dengan rumus:

f (x) = , adlah . Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b), digunakan rumus:

P (a < X < b) = dk, untuk penggunaan rumus ini tak perlu dipakai, karena telah ada daftar yang dimaksudkan.

Setelah kita memiliki distribusi normal baku yang di dapat dari distribusi normal umum dengan transformasi, maka daftar distribusi normal baku dapag digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari. Caranya adalah:

1.      hitung Z hingga dua decimal

2.      gambarkan kurvanya

3.      letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.

4.      luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak dititik nol.

5.      dalam daftar, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.

6.      dari Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.

Bilangan yang di dapat ditulis dalam bentuk 0, xxxx (empat desimal) karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap m = 0, maka luas dari garis tetak pada titik nol kekiri ataupun kekanan adalah 0,5.

Contoh:

Penggunaan daftar normal baku.

Akan dicari luas daerah:

1.      antara z = 0 dan z = 2,26

Di baah Z pada kolom kiri cari 2,2 dan di atas sekali angka 6. Dari 2,2 mamu ke kanan dan dari 6 menurut didapat 4881 luas daerah yang dicari 0,4881        

2.      antara z = 0 dan z = -2,26           

Di bawah Z pada kolom kiri cari 2,2 dan diatas sekali angka 6. dari 2,2 maju ke kanan dan dari 6 menurun di dapat 4881 luas daerah yang dicari 0,4881

3.      antara z = -1,50 dan z = 1,26 dari grafik terlihat kita perlu mencari luas daerah dua kali, lalu dijumlahkan dengan cara seperti no. 1

untuk z = 1,5 didapat 0,4332

untuk z  = 1,26 didapat 0,3962

jumlah = luas yang dicari  = 0,8294

4.      Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram.Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan:

a.       ada berapa bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?

b.      Ada berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semua ada 10.0000 bayi?

c.       Berapa bayi yang beratnya lebih kecil  atau sama dengan 40000 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi

d.      Ada berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya ada5000 bayi?

Penyelesaian:

Dengan X = berat bayi dalam gram, m =rerata berat bayi dalam gram, m = 3750 gram, s = 325 gram,  maka:

a.       untuk X = 4500

Z = 

gram, pada grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31 luasnya 0,4896 , luas daerah lebih besar 2,31 luas daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. jika ada 1.04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram.

b.      dengan X = 3500 dan 4500 gram di dapat Z = dan Z = 2,31

Luas daerah yang dibatasi anara --0,77 sampai 2,31 adalah jumlah dari 0,2794 dengan 0,4896 = 0,7690. Banyaknya bayi yang beratnya antara 3500 gram sampai 4500 gram adalah = 0,7690 x 10000 =7690.

c.       Bayi yang beratnya lebih kecil atua sama dengan 4000 gram, maka beratnya harus lebih kecil dari 4000,0 gram Z = peluang bayi yang lebih kecil atau sama dengan 4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206 banyaknya bayi  = (0,2206) x 10,000 = 2,206. Berat 4250 gram berarti berat antara  4249,5 gram dan  4250,5 gram.

Jadi untuk X = 4249,5 dan X = 4250,5 didapat:

Z =  Z = 

Maka luas daerahnya adalah 0,4382 – 04370 = 0,0012.

Banyaknya bayi  = 0.0012 x 5000 = 6

D.    Distribusi Student (t)

Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal, ialah distribusi student atau distribusi t.

Rumus : t = 

Dimana:

t           = Rata-rata sampel

m         = rata-rata populasi

s           = simpang baku, populasi

Maka di dapat distribusi harga t dengan persamaan:

f (t) = 

dimana:

f =    merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian hingga luas daerah di bawah kurwa sama dengan satu unit.

(n – 1) = m    =    derajat kebebasan, biasa disingkat dengan dk

Bentuk grafiknya seperti distribusi normal baku simetrik terhadap t = 0, sehingga sempitas lalu hampir tak ada bedanya. Untuk harga n yang besar, biasanya > 30, distribusi t mendekati distribusi normal.

Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun dalam daftar. Distribusi ini ditemukan oleh Gosse t yang menggunakan nama samaran “student”.

Contoh:

Untuk n = 20, tentukan t supaya luas daerah antara t dengan t = 0,9.

Dari grafik dapat dilihat bahwa luas luas ujung kiri dan luas ujung kanan = 1-0,90 = 0,10

Kedua ujung luasnya sama, mulai dari t kekanan luasnya = 0,05, mulai dari t kekiri luasnya = 1-0,05 = 0,95.

Jadi untuk m= n-1 = 20 – 1 = 19 dan P = 0,95 didapat harga t = 1,73

Jadi antara t = -1,73 dan t = 1,73 luasnya = 0,90

E.     Distribusi Chi Kuadrat (χ²)

Distribusi chi kuadrat merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu.Simbul yang dipakai ialah χ².

apabila besar sampel n dan varians s², maka :  χ² =  dan didapat distribusi sampling χ²  untuk memudahkan menulis, dan harga u > 0, v = (n-1) = derajat kebebasam K bilangan tetap yang bergantung pada v, sedemikian sehingga luas daeah di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan e = 2,7183. Grafik distribusi x² umumnya merupakan kurva positif yaitu miring kekanan, makin berkurang kemiringannya jika v makin besar.

Contoh: Gambar di bawah distribusi x² dengan n = 10.

a.       Luas daerah yang diarsir sebalah kanak = 0,025, hitung X₁²

b.      Luas daerah yang diarsir sebelah kiri = 0,05, hitung X₁²

Jawab:

a.       v = (n-1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,25 = 0,975, dicari pada tabel di dapat X₂¹ = 19,0

b.      v = (n – 1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,05 = 0,95 dicari pada tabel  didapat X₁²

Catatan :

Karena distribusi X₂² tidak simetrik, luas ujung-ujung daerah yang diarsir bila diketahui jumlahnya, maka luas daerah ujung kiri yang diarsir dan luas daerah ujung kanan harganya dapat berbeda-beda.

Dalam beberapa hal, kecuali dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung kanan yang diarsir sama dengan luas daerah ujung kiri yang diarsir.

F.      Distribusi F

Jika S₁² dan S₂² adalah varian-varians dari sampel-sampel acak independen dengan besar berturut-turut n₁ dan n₂ yang berasal dari populasi-populasi normal dengan varians-varians s₁² dan s₂², maka distribusi sampling harga S₁²/ S₂² berbentuk distribusi F dengan derajat kebebasan: dk₁ = v₁ = n₁ – 1; dk₂; v₂ = n₂ – 1, Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.

Fungsi densitasnya mempunyai persamaan:

f (F) = K  

dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap yang harganya bergantung pada v₁ dan v₂, sedemikian hingga luas di bawah kurva sama dengan satu.Kurva distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif.

Tabel distribusi F terdapat pada lampiran, daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan dk v₁ dan v₂. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk = v₁ ada pada baris paling atas dan dk = v₂pada kolom paling kiri untuk stiap pasang dk v₁  dan v₂.

daerah ini (0,01 atau 0,05). Untuk tiap dk = v₂, daftar terdiri atas dua baris yang atas untuk peluang P = 0,05 dan yang bawah untuk P = 0,01.

Daftar berisikan harga-harga F dengan kedua luas V

Contoh:

Untuk pasangan dk, v₁ = 8 dan v₂ = 29 ditulis juga (v₁, v₂) = 8,29), maka untuk P = 0,5 didapat F = 2,28 dan 3,20 untuk P = 0,01.

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang P = 0,01 dan P = 0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95 digunakan hubungan:

F_{(1-P) (v1, v2)} = 

Dalam rumus di atas perhatikan antara P dan 1-P dan pertukaran antara dk (v₁, v₂) menjadi (v₁, v₂)

Contoh:

Telah didapat F_0,05(8,29) = 2,28

Maka F_{0,095 (8,29)} = 

Telah didapat F_{0,01 (29,8)}  = 3,20

Maka F_0,099(29,8) =