DISTRIBUSI PELUANG
A. Distribusi Binomial
Diperhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan
dua peristiwa A dan bukan A (ditulisi ), dimana P
(A) = = peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan percobaan sebanyak N
kali secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan peristiwa A dan
sisannya (N-X) peristiwa.
Jika+P(A) untuk
tiap percobaan, 1- =P(A)
maka peluang terjadinya peristiwa a sebanyak X =x kali
diantara N, dihitung oleh:
P(x) = P(X=x) = ( x (1-∏) n-x
Dengan N! + 1x2x3x….. x(N-1)xN
dan 0! = 1 (N! dibaca N faktorial) rumus tersebut merupakan koefisienbinomial
Rumus : = N
σ =
dimana parameter ditinjau
dari peristiwa A.
contoh :
1. Peluang untuk mendapatkan 6 muka A,
ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang logam homogin sebanyak 10 kali
adalah
P (x=7) = (1/2)4
=
0,2050
2. Pada pelemparan sebuah mata uang
logam yang homogen sebanyak 5 kali, ditentukan X = banyaknya G (gambar)
yang muncul. Carilah P (X≤2)
Jawab : =1/2, X = 5
P(X≤2) = P(X=0) =
P(X=1) + P(X=2)
P9X=0) = (1/2) 0(1/2)5 =
0,0312
P(X=1) =
(1/2) 1(1/2)4
= 0,1562
P(X=2) = (1/2) 2 (1/2)5
=
0,3125
P(X≤2) = 0,312 +
0,1562 + 0,3125 = 0,4993
B. Distribusi Poisson
Pada dasarnya distribusi poisson merupakan perluasan
dari distribusi binomial, dengan N cukup besar dan π cukup kecil
Rumus : P(X) = P (X=x) =
Dimana :
x =
0, 2, ………. = banyaknya sukses
e.
= 2,7183
λ =
bilangan tetap = n π
n =
banyaknya ulangan yang dilakukan
distribusi poisson mempunyai
parameter :
μ = λ
σ =
contoh :
Jika peluang pengunjung yang
pingsan saat melihat parade akibat terik matahari adalah 0,005 maka hitunglah
peluang bahwa dari 3000 pengunjung parade tersebut, trdapat 18 orang yang
pingsan akibat terik matahari.
Jawab :
π = 0,005 n = 3000
λ = n π = 3000 (0,005)
= 15
x = 18
P(X) = P (X=x)
C. Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi dengan variabel
acak kentinu dan merupakan distribusi yang sangat dominan. Distribusi normal
sering disebut sebagai distribusi Gauss.
Jika variabel acak kontinu
mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan : F(x) =
Dimana :
π = 3,1416
e = 2,7183
μ = parameter merupakan
rata-rata untuk distribusi
σ= parameter merupakan simpangan
baku untuk distribusi
nilai x :
- , maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.
Apabila =
1 dan = 0, maka diperoleh distribusi standar.
Fungsi identitasnya :
F(z) =
Untuk Z ;
- < Z <
Mengubah distribusi normal umum,
menjadi distribusi normal standar dapat ditempuh dengan menggunakan
transforamsi:
Z = ;
Dimana μ =
rata-rata dan σ = deviasi standar
Untuk m = 0
dan s = 1
Kurva normal mempunyai
sifat-sifat antara lain:
1. bentuknya simetrik terhadap sumbu x = m
2. grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x
3. grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = m - 3skekanan
sampai m + 3
4. mempunyai satu modus, jadi kurga unimodal, tercapai pada x = m sebesar
5. luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi
hubungan sifat yang kelima dengan rumus:
f (x) = , adlah . Untuk
menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b), digunakan
rumus:
P (a < X < b) = dk,
untuk penggunaan rumus ini tak perlu dipakai, karena telah ada
daftar yang dimaksudkan.
Setelah kita memiliki distribusi
normal baku yang di dapat dari distribusi normal umum dengan transformasi, maka
daftar distribusi normal baku dapag digunakan. Dengan daftar
ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari. Caranya
adalah:
1. hitung Z hingga dua decimal
2. gambarkan kurvanya
3. letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga
memotong kurva.
4. luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan
garis tegak dititik nol.
5. dalam daftar, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu
desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
6. dari Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah,
maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.
Bilangan yang di dapat ditulis
dalam bentuk 0, xxxx (empat desimal) karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik
terhadap m = 0, maka luas dari garis tetak pada titik nol kekiri
ataupun kekanan adalah 0,5.
Contoh:
Penggunaan daftar normal baku.
Akan dicari luas daerah:
1. antara z = 0 dan z = 2,26
Di baah Z pada kolom kiri cari
2,2 dan di atas sekali angka 6. Dari 2,2 mamu ke kanan dan dari 6
menurut didapat 4881 luas daerah yang dicari
0,4881
2. antara z = 0 dan z =
-2,26
Di bawah Z pada kolom kiri cari
2,2 dan diatas sekali angka 6. dari 2,2 maju ke kanan dan dari 6 menurun di
dapat 4881 luas daerah yang dicari 0,4881
3. antara z = -1,50 dan z = 1,26 dari grafik terlihat kita perlu mencari luas
daerah dua kali, lalu dijumlahkan dengan cara seperti no. 1
untuk z = 1,5 didapat 0,4332
untuk z = 1,26 didapat
0,3962
jumlah = luas yang
dicari = 0,8294
4. Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325
gram.Jika berat
bayi berdistribusi normal, maka tentukan:
a. ada berapa bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?
b. Ada berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semua
ada 10.0000 bayi?
c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 40000
gram, jika semuanya ada 10.000 bayi
d. Ada berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya ada5000 bayi?
Penyelesaian:
Dengan X = berat bayi dalam
gram, m =rerata berat bayi dalam gram, m = 3750 gram, s = 325
gram, maka:
a. untuk X =
4500
Z =
gram, pada grafiknya ada di
sebelah kanan z = 2,31 luasnya 0,4896 , luas daerah lebih besar 2,31 luas
daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. jika ada 1.04% dari bayi yang beratnya
lebih dari 4500 gram.
b. dengan X = 3500 dan 4500 gram di dapat Z = dan Z = 2,31
Luas daerah yang dibatasi anara
--0,77 sampai 2,31 adalah jumlah dari 0,2794 dengan 0,4896 = 0,7690. Banyaknya
bayi yang beratnya antara 3500 gram sampai 4500 gram adalah = 0,7690 x 10000
=7690.
c. Bayi yang beratnya lebih kecil atua sama dengan 4000 gram, maka beratnya
harus lebih kecil dari 4000,0 gram Z = peluang bayi yang lebih kecil atau
sama dengan 4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206 banyaknya bayi =
(0,2206) x 10,000 = 2,206. Berat 4250 gram berarti berat antara 4249,5
gram dan 4250,5 gram.
Jadi untuk X = 4249,5 dan X =
4250,5 didapat:
Z = Z =
Maka luas daerahnya adalah 0,4382
– 04370 = 0,0012.
Banyaknya bayi = 0.0012 x 5000 = 6
D. Distribusi Student (t)
Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya,
selain dari distribusi normal, ialah distribusi student atau distribusi t.
Rumus : t =
Dimana:
t =
Rata-rata sampel
m =
rata-rata populasi
s =
simpang baku, populasi
Maka di dapat distribusi harga t dengan persamaan:
f (t) =
dimana:
f = merupakan bilangan
tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian hingga luas daerah di bawah
kurwa sama dengan satu unit.
(n – 1) = m = derajat
kebebasan, biasa disingkat dengan dk
Bentuk grafiknya seperti
distribusi normal baku simetrik terhadap t = 0, sehingga sempitas lalu hampir
tak ada bedanya. Untuk harga n yang besar, biasanya > 30,
distribusi t mendekati distribusi normal.
Untuk perhitungan-perhitungan,
daftar distribusi t sudah disusun dalam daftar. Distribusi ini ditemukan oleh
Gosse t yang menggunakan nama samaran “student”.
Contoh:
Untuk n = 20, tentukan t supaya
luas daerah antara t dengan t = 0,9.
Dari grafik dapat dilihat bahwa
luas luas ujung kiri dan luas ujung kanan = 1-0,90 = 0,10
Kedua ujung luasnya sama, mulai
dari t kekanan luasnya = 0,05, mulai dari t kekiri luasnya = 1-0,05 = 0,95.
Jadi untuk m= n-1 = 20 – 1
= 19 dan P = 0,95 didapat harga t = 1,73
Jadi antara t = -1,73 dan t =
1,73 luasnya = 0,90
E. Distribusi Chi Kuadrat (χ2)
Distribusi chi kuadrat merupakan distribusi dengan
variabel acak kontinu.Simbul yang dipakai ialah χ2.
apabila besar sampel n dan varians s2, maka : χ2 = dan didapat distribusi
sampling χ2 untuk memudahkan menulis, dan
harga u > 0, v = (n-1) = derajat kebebasam K bilangan tetap yang bergantung
pada v, sedemikian sehingga luas daeah di bawah kurva sama dengan satu satuan
luas dan e = 2,7183. Grafik distribusi x2 umumnya merupakan
kurva positif yaitu miring kekanan, makin berkurang kemiringannya jika v makin
besar.
Contoh: Gambar di bawah
distribusi x2 dengan n = 10.
a. Luas daerah yang diarsir sebalah kanak = 0,025, hitung X12
b. Luas daerah yang diarsir sebelah kiri = 0,05, hitung X12
Jawab:
a. v = (n-1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,25 = 0,975, dicari pada tabel di dapat X21 =
19,0
b. v = (n – 1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,05 = 0,95 dicari pada
tabel didapat X12
Catatan :
Karena distribusi X22 tidak
simetrik, luas ujung-ujung daerah yang diarsir bila diketahui jumlahnya, maka
luas daerah ujung kiri yang diarsir dan luas daerah ujung kanan harganya dapat
berbeda-beda.
Dalam beberapa hal, kecuali
dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung kanan yang diarsir sama dengan
luas daerah ujung kiri yang diarsir.
F. Distribusi F
Jika S12 dan S22 adalah
varian-varians dari sampel-sampel acak independen dengan besar berturut-turut n1 dan
n2 yang berasal dari populasi-populasi normal dengan varians-varians s12 dan s22,
maka distribusi sampling harga S12/ S22 berbentuk
distribusi F dengan derajat kebebasan: dk1 = v1 =
n1 – 1; dk2; v2 = n2 –
1, Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.
Fungsi densitasnya mempunyai persamaan:
f (F) = K
dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K =
bilangan tetap yang harganya bergantung pada v1 dan v2,
sedemikian hingga luas di bawah kurva sama dengan satu.Kurva distribusi F
tidak simetrik dan umumnya sedikit positif.
Tabel distribusi F terdapat pada lampiran, daftar
tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan dk v1 dan
v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir,
sedangkan dk = v1 ada pada baris paling atas dan dk = v2pada
kolom paling kiri untuk stiap pasang dk v1 dan v2.
daerah ini (0,01 atau 0,05). Untuk tiap dk = v2,
daftar terdiri atas dua baris yang atas untuk peluang P = 0,05 dan yang bawah
untuk P = 0,01.
Daftar berisikan harga-harga F dengan kedua luas V
Contoh:
Untuk pasangan dk, v1 = 8 dan v2 =
29 ditulis juga (v1, v2) = 8,29), maka untuk P = 0,5
didapat F = 2,28 dan 3,20 untuk P = 0,01.
Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang P =
0,01 dan P = 0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan
peluang 0,99 dan 0,95 digunakan hubungan:
F(1-P) (v1, v2) =
Dalam rumus di atas perhatikan
antara P dan 1-P dan pertukaran antara dk (v1, v2)
menjadi (v1, v2)
Contoh:
Telah didapat F0,05(8,29) =
2,28
Maka F0,095 (8,29) =
Telah didapat F0,01
(29,8) = 3,20
Maka F0,099(29,8) =
