BAB III
UKURAN PEMUSATAN DATA
Salah satu aspek yang paling penting
untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan (tendensi
sentral). Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan
suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data
(himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran tendensi sentral.
Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering
digunakan, yaitu:
[ Mean (Rata-rata hitung/rata-rata
aritmetika)
[ Median
[ Mode
A. Mean (arithmetic mean)
Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau
sering disebut dengan istilah meansaja merupakan metode yang paling
banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean dihitung
dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan
banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan
persamaan berikut:
Sampel:
Populasi:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus
data pengamatan
n = banyaknya sampel data
N = banyaknya data populasi
= nilai rata-rata sampel
μ = nilai rata-rata populasi
Mean dilambangkan dengan (dibaca “x-bar”)
jika kumpulan data ini merupakancontoh (sampel) dari
populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi, mean
dilambangkan dengan μ (huruf kecil Yunani mu).
Sampel statistik biasanya
dilambangkan dengan huruf Inggris, , sementaraparameter-parameter
populasi biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani, misalnya μ
a. Rata-rata hitung (Mean) untuk
data tunggal
Contoh 1:
Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika
kelas 3 SMU berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Jawab:
Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan
bisa dihitung dengan menggunakan formula berikut:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
fi = frekuensi data ke-i
n = banyaknya sampel data
= nilai rata-rata sampel
Contoh 2 :
Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut:
|
xi
|
fi
|
|
70
|
5
|
|
69
|
6
|
|
45
|
3
|
|
80
|
1
|
|
56
|
1
|
Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas merupakan tabel
frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data yang sudah
dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.
Jawab:
|
xi
|
fi
|
fixi
|
|
70
|
5
|
350
|
|
69
|
6
|
414
|
|
45
|
3
|
135
|
|
80
|
1
|
80
|
|
56
|
1
|
56
|
|
Jumlah
|
16
|
1035
|
b. Mean dari data distribusi Frekuensi
atau dari gabungan:
Distribusi Frekuensi:
Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam
bentuk tabel distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan menggunakan formula
yang sama dengan formula untuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah
dikelompokkan, yaitu:
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan
fi = frekuensi data ke-i
= nilai rata-rata sampel
Contoh 3:
Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80
mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh 2,
pada contoh ke-3 ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah
dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang
kelas = 10).
|
Kelas ke-
|
Nilai
Ujian
|
fi
|
|
1
|
31 – 40
|
2
|
|
2
|
41 – 50
|
3
|
|
3
|
51 – 60
|
5
|
|
4
|
61 – 70
|
13
|
|
5
|
71 – 80
|
24
|
|
6
|
81 – 90
|
21
|
|
7
|
91 – 100
|
12
|
|
Jumlah
|
80
|
Jawab:
Buat daftar tabel berikut, tentukan
nilai pewakilnya (xi) dan hitung fixi.
|
Kelas ke-
|
Nilai
Ujian
|
fi
|
xi
|
fixi
|
|
1
|
31 – 40
|
2
|
35.5
|
71.0
|
|
2
|
41 – 50
|
3
|
45.5
|
136.5
|
|
3
|
51 – 60
|
5
|
55.5
|
277.5
|
|
4
|
61 – 70
|
13
|
65.5
|
851.5
|
|
5
|
71 – 80
|
24
|
75.5
|
1812.0
|
|
6
|
81 – 90
|
21
|
85.5
|
1795.5
|
|
7
|
91 – 100
|
12
|
95.5
|
1146.0
|
|
Jumlah
|
80
|
6090.0
|
Catatan: Pendekatan perhitungan nilai rata-rata hitung dengan
menggunakan distribusi frekuensi kurang akurat dibandingkan dengan cara
perhitungan rata-rata hitung dengan menggunakan data aktualnya. Pendekatan ini
seharusnya hanya digunakan apabila tidak memungkinkan untuk menghitung nilai
rata-rata hitung dari sumber data aslinya.
Rata-rata Gabungan atau rata-rata
terboboti (Weighted Mean)
Rata-rata gabungan (disebut juga grand mean, pooled
mean, atau rata-rata umum) adalah cara yang tepat untuk
menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.
Contoh 4:
Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan
rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?
Jawab:
B. Median
Median dari n pengukuran atau
pengamatan x1, x2 ,..., xn adalah
nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut
diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak
tepat ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median
diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di
tengah gugus data. Dengan demikian, median membagi himpunan pengamatan menjadi
dua bagian yang sama besar, 50% dari pengamatan terletak di bawah median dan
50% lagi terletak di atas median. Median sering dilambangkan dengan (dibaca
"x-tilde") apabila sumber datanya berasal dari sampel(dibaca
"μ-tilde") untuk median populasi. Median tidak dipengaruhi oleh
nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka. Prosedur untuk
menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih dahulu, kemudian ikuti
salah satu prosedur berikut ini:
v Banyak data ganjil → mediannya
adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data
v Banyak data genap → mediannya adalah
rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data
a. Median data tunggal:
Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih
dulu kita harus mengetahui letak/posisi median tersebut. Posisi median dapat
ditentukan dengan menggunakan formula berikut:
dimana n = banyaknya data pengamatan.
Median apabila n ganjil:
Contoh 5:
Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3
SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
Jawab:
data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9;
10 setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7;
7; 7; 8; 9; 10 banyaknya data (n) = 11 posisi Me = ½(11+1) = 6 jadi Median = 7 (data yang terletak
pada urutan ke-6)|
Nilai
Ujian
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Urutan
data ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
↑
|
Median apabila n genap:
Contoh 6:
Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3
SMU berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
Jawab:
v data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9
v setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7;
7; 7; 8; 9
v banyaknya data (n) = 10
v posisi Me = ½(10+1) = 5.5
v Data tengahnya: 6 dan 7
v jadi Median = ½ (6+7) = 6.5
(rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)
|
Nilai
Ujian
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
8
|
9
|
||||||||
|
Urutan
data ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
||||||||
|
↑
|
||||||||||||||||||
b. Median dalam distribusi frekuensi:
Formula untuk menentukan median dari tabel distribusi
frekuensi adalah sebagai berikut:
b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang
mengandung unsur atau memuat nilai median
p = panjang kelas median
n = ukuran sampel/banyak data
f = frekuensi kelas median
F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih
kecil dari kelas median (∑fi)
Contoh 7:
Tentukan nilai median dari tabel distribusi frekuensi
pada Contoh 3 di atas!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
fkum
|
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
2
|
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
5
|
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
10
|
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
23
|
|
|
5
|
71 - 80
|
24
|
47
|
←letak
kelas median
|
|
6
|
81 - 90
|
21
|
68
|
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
80
|
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
› Letak kelas median: Setengah dari seluruh data = 40,
terletak pada kelas ke-5 (nilai ujian 71-80)
› b = 70.5, p = 10
› n = 80, f = 24
› f = 24 (frekuensi kelas median)
› F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23
C. Mode
Mode adalah
data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan modus, pertama susun
data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian hitung frekuensinya.
Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul) adalah modus. Modus
digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus
tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Beberapa kemungkinan tentang modus
suatu gugus data:
¯ Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut
dikatakan bimodal.
¯ Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data
tersebut dikatakan multimodal.
¯ Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut
dikatakan tidak mempunyai modus.
Meskipun
suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada suatu distribusi
data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.
\ Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus
semuanya sama.
\ Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median <
modus
\ untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang
sebaliknya, yaitu mean > median > modus.
Hubungan
antara ketiga ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak berdistribusi
normal, namun hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan rumus empiris
berikut:
Mean - Mode
= 3 (Mean - Median)
a. Modus Data Tunggal:
Contoh 8:
Berapa modus
dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Jawab:
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7,
8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3),
sehingga Modus (M) = 7 2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7,
8, 9 → Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3
kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan
bimodal karena mempunyai dua modus. Karena ke-2 mode tersebut nilainya
berurutan, mode sering dihitung dengan menghitung nilai rata-rata keduanya, ½
(6+7) = 6.5. 2, 4, 6, 6, 6,
7, 8, 8, 8, 9 → Nilai yang sering muncul
adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua,
yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua
modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode tersebut tidak
berurutan. 2, 4, 5, 5,
6, 7, 7, 8, 8, 9 → Nilai yang
sering muncul adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-masing muncul 2 kali), sehingga
Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal
karena modusnya lebih dari dua. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada
gugus data tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing muncul satu kali,
sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya
b. Mode dalam Distribusi Frekuensi:
dimana:
Mo = modal =
kelas yang memuat modus
b = batas
bawah kelas modal
p = panjang
kelas modal
bmo =
frekuensi dari kelas yang memuat modus (yang nilainya tertinggi)
b1= bmo –
bmo-1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sebelumnya
b2 = bmo –
bmo+1 = frekuensi kelas modal – frekuensi kelas sesudahnya
Contoh 9:
Tentukan
nilai median dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai
Ujian
|
fi
|
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
|
|
→ b1 = (24
– 13) = 11
|
|||
|
5
|
71 - 80
|
24
|
← kelas
modal (frekuensinya paling besar)
|
|
→ b2 =(24
– 21) =3
|
|||
|
6
|
81 - 90
|
21
|
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
[ Kelas modul =kelas ke-5
[ b = 71-0.5 = 70.5
[ b1 = 24 -13 = 11
[ b2 = 24 – 21 = 3
[ p = 10
Selain tiga
ukuran tendensi sentral di atas (mean, median, dan mode), terdapat ukuran
tendensi sentral lainnya, yaitu rata-rata ukur (Geometric Mean) dan
rata-rata harmonis (Harmonic Mean)
D. Rata-rata Ukur (Geometric Mean)
Untuk gugus
data positif x1, x2, …, xn, rata-rata
geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya. Secara
matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
Dimana: U =
rata-rata ukur (rata-rata geometrik) n = banyaknya sampel Π = Huruf kapital π
(pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data. Rata-rata
geometrik sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi untuk menghitung rata-rata
tingkat perubahan, rata-rata tingkat pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk
data berurutan tetap atau hampir tetap atau untuk rata-rata kenaikan dalam
bentuk persentase.
a. Rata-rata ukur untuk data tunggal
Contoh 10:
Berapakah
rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?
Jawab:
atau:
b. Distribusi Frekuensi:
xi = tanda
kelas (nilai tengah)
fi =
frekuensi yang sesuai dengan xi
Contoh 11:
Tentukan
rata-rata ukur dari tabel distribusi frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab
|
Kelas ke-
|
Nilai Ujian
|
fi
|
xi
|
log xi
|
fi.log xi
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
35.5
|
1.5502
|
3.1005
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
45.5
|
1.6580
|
4.9740
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
55.5
|
1.7443
|
8.7215
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
65.5
|
1.8162
|
23.6111
|
|
5
|
71 - 80
|
24
|
75.5
|
1.8779
|
45.0707
|
|
6
|
81 - 90
|
21
|
85.5
|
1.9320
|
40.5713
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
95.5
|
1.9800
|
23.7600
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
149.8091
|
E. Rata-rata Harmonik (H)
Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1,
x2, …, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata
hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula
berikut:
Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan.
Rata-rata ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus.
Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral
untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
· Rata-rata harmonic untuk data
tunggal
Contoh 12:
Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia
mengendarai kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20
km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?
Jawab:
Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus
jarak dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita gunakan
perhitungan rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata
harmonik:
· Rata-rata Harmonik untuk Distribusi
Frekuensi:
Contoh 13:
Berapa rata-rata Harmonik dari tabel distribusi
frekuensi pada Contoh 3 di atas!
Jawab:
|
Kelas ke-
|
Nilai
Ujian
|
fi
|
xi
|
fi/xi
|
|
1
|
31 - 40
|
2
|
35.5
|
0.0563
|
|
2
|
41 - 50
|
3
|
45.5
|
0.0659
|
|
3
|
51 - 60
|
5
|
55.5
|
0.0901
|
|
4
|
61 - 70
|
13
|
65.5
|
0.1985
|
|
5
|
71 - 80
|
24
|
75.5
|
0.3179
|
|
6
|
81 - 90
|
21
|
85.5
|
0.2456
|
|
7
|
91 - 100
|
12
|
95.5
|
0.1257
|
|
8
|
Jumlah
|
80
|
1.1000
|
Perbandingan Ketiga Rata-rata
(Mean):
Karakteristik penting untuk ukuran
tendensi sentral yang baik
Ukuran nilai pusat/tendensi sentral (average)
merupakan nilai pewakil dari suatu distribusi data, sehingga harus memiliki
sifat-sifat berikut:
\ Harus mempertimbangkan semua gugus
data
\ Tidak boleh terpengaruh oleh
nilai-nilai ekstrim.
\ Harus stabil dari sampel ke sampel.
\ Harus mampu digunakan untuk analisis
statistik lebih lanjut.
Dari beberapa ukuran nilai pusat, Mean hampir memenuhi
semua persyaratan tersebut, kecuali syarat pada point kedua, rata-rata
dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Sebagai contoh, jika item adalah 2; 4; 5; 6; 6;
6; 7; 7; 8; 9 maka mean, median dan modus semua bernilai sama, yaitu 6. Jika
nilai terakhir adalah 90 bukan 9, rata-rata akan menjadi 14.10, sedangkan median
dan modus tidak berubah. Meskipun dalam hal ini median dan modus lebih baik,
namun tidak memenuhi persyaratan lainnya. Oleh karena itu Mean merupakan ukuran
nilai pusat yang terbaik dan sering digunakan dalam analisis statistik.
Kapan kita menggunakan nilai tendensi sentral yang
berbeda?
Nilai ukuran
Bila distribusi frekuensi data tidak
normal (tidak simetris), medianatau modus merupakan
ukuran pusat yang tepat. Apabila terdapat nilai-nilai
ekstrim, baik kecil atau besar, lebih tepat menggunakan median atau
modus. Apabila distribusi data
normal (simetris), semua ukuran nilai pusat, baik mean,
median, atau modus dapat digunakan. Namun, mean lebih sering
digunakan dibanding yang lainnya karena lebih memenuhi
persyaratan untuk ukuran pusat yang baik. Ketika kita berhadapan dengan laju,
kecepatan dan harga lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik. Jika kita tertarik pada perubahan
relatif, seperti dalam kasus pertumbuhan bakteri, pembelahan sel dan sebagainya, rata-rata
geometrik adalah rata-rata yang paling tepat
Tidak ada komentar:
Posting Komentar